Diviseurs de 19 - Corrigé

Énoncé

Soit  \(a\) et  \(n\) deux entiers relatifs. Démontrer que, si  \(a\) divise \(4n+7\) et  \(a\) divise \(n-3\) , alors  \(a\) divise \(19\) .

Solution

Comme  \(a\) divise  \(4n+7\) et \(n-3\) ,  \(a\) divise aussi toute combinaison linéaire de ces deux entiers. En particulier,  \(a\) divise \(1(4n+7)-4(n-3)=4n+7-4n+12=19\) .
(Conséquence :  \(a \in \left\lbrace -19 \ ; -1 \ ; 1 \ ; 19 \right\rbrace\) .)